Математическое ожидание в покере или ожидаемый доход

Математическое ожидание (матожидание) или ожидаемый доход – это ваша приблизительная или точная оценка того, что в среднем может принести данная ситуация до того, как она произошла.

Представьте себе, что вы играете в безлимитный холдем по низким ставкам в местном казино. Ваши карманные карты

Дилер только что cдал на стол карту терна и теперь борд выглядит так:

   

Это дает вам натсовый флеш-дро. В банке сейчас $50. У вас единственный противник – это тайтовый консервативный игрок. В вашем стеке осталось только $20. У вашего противника денег намного больше. Он делает ставку в $20, вынуждая вас или сбросить, или ответить на все ваши фишки. Вы наблюдали за его игрой и считаете, что такую ставку он мог сделать только с весьма хорошей рукой, как минимум с двумя парами или трипсом. У вас есть два выбора – колл или фолд. Что вам делать?

Это достаточно простой пример из холдема, потому что здесь ваш ход будет завершать торговлю. После того, как вы примете свое решение, ваша судьба будет зависеть только от последней карты. Если это будет трефа, то вы выиграете; если это будет любая другая карта, то вы проиграете. Чтобы определиться в данной ситуации, давайте подсчитаем ваше матожидание (или EV, от английского названия термина expected value) каждого варианта, и затем определим, какой же вариант имеет наивысшее EV.

Давайте начнем с фолда, потому что ожидаемый доход от фолда проще всего посчитать. Если вы сбросите, то вы не сможете что-то дополнительно проиграть или что-то дополнительно выиграть. Ваше матожидание будет равно 0.

«Но как насчет тех денег, которые я уже вложил в этот банк?», мучительно воскликните вы. Эти деньги уже ушли, забудьте о них. Деньги в банке принадлежат банку, не имеет значения, кто поместил их туда. Каждое решение в торговле – это новое решение, и деньги в банке не принадлежат какому-то конкретному игроку до тех пор, пока раздача не закончится.

Теперь давайте посмотрим на то, что произойдет, если вы коллируете. Расчеты здесь будут немного сложней. Всего в колоде 13 трефовых карт и прямо сейчас вы видите перед собой 4 из них – 2 в вашей руке и 2 на столе. Всего в колоде 52 карты и вы видите 6 из них. Это означает, что 46 карт из колоды для вас по-прежнему невидимы, и 9 из них являются трефовыми, а оставшиеся 37 принадлежат трем другим мастям.

Поэтому ваши шансы получить трефу на ривере (и выиграть) равны 19,6%:

9/46 = 0,196

Вероятность того, что на ривере придет карта, отличная от трефовой (при которой вы проиграете) равна 80,4%:

37/46 = 0,804

Перед тем как мы двинемся дальше, давайте округлим эти числа до 20% и 80% соответственно. В покере редко нужна математическая точность при вычислении – можно вполне довольствоваться и хорошими приближенными значениями, которые можно вычислить быстро и легко. Почти во всех случаях хорошее приближенное значение приведет нас к тому же самому ответу, что и точное вычисление, но с намного меньшим количеством затраченного времени и усилий.

Таким образом, мы выиграем в 20% случаев. И когда мы выиграем, наша прибыль составит $70 (те $50, которые уже находятся в банке, плюс те $20, которые поставил противник на терне). В среднем это принесет нам выигрыш в размере $14:

0,2 ? $70 = $14

Когда мы будем проигрывать, мы будем терять те наши $20, с помощью которых мы сделали колл. В среднем это принесет нам убытки в размере $16:

0,8 ? -$20 = -$16

Теперь, давайте вычислим матожидание от колла. Поскольку после нашего колла будут возможны только два варианта развития событий, наше матожидание можно вычислить просто путем суммирования матожиданий от каждого события. Таким образом, наше итоговое матожидание будет равно -$2:

-$16 (ваш проигрыш) + $14 (ваш выигрыш) = -$2

Итак, наш ожидаемый доход от колла равен -$2. Таким образом, мы можем ожидать, что в среднем мы будем проигрывать около $2 каждый раз, когда будем отвечать коллом в точно такой же ситуации.

Заметьте, что подсчитанный нами ожидаемый доход от колла никогда не будет совпадать с вашим реальным результатом. В действительности, каждый раз после нашего колла мы будем выигрывать $70 или проигрывать $20. Если мы повторим такую ситуацию сотни или даже тысячи раз, тщательно перемешивая колоду и сдавая на ривере свежую карту, то средний результат каждой такой попытки на длинной дистанции будет равен нашему матожиданию, в данном случае это будет убыток в размере $2 за каждую руку.

Теперь, когда мы обладаем полной информацией, нам нужно ответить на наш первоначальный вопрос: колл или фолд? Отвечая коллом, мы будем проигрывать $2 за попытку, но поскольку ожидаемый доход от фолда равен 0, фолд лучше. С помощью фолда мы не сможем выиграть деньги, но мы проиграем меньше, чем при нашем колле

Каждое действие в покере имеет свой ожидаемый доход. В таких простейших случаях как этот, хороший покерный игрок может вычислить правильный ответ непосредственно в своей голове. В более сложных случаях вам нужно будет делать разумное предположение. Но вы всегда должны выбирать тот вариант, который обладает наилучшим математическим ожиданием при данных конкретных обстоятельствах.

Шансы к банку

Игрок, который столкнется с предыдущей описанной ситуацией, в действительности не будет подсчитывать ожидаемый доход так, как делали это мы. Вместо этого он будет использовать более простой способ – он будет вычислять шансы к банку, предложенные ему соперниками и сравнивать их со своими шансами на улучшение. Давайте посмотрим, как это работает на практике.

Шансы к банку (или пот оддсы) – это простая и чрезвычайно полезная вещь. Просто разделите количество денег в банке на ту сумму, на которую вам нужно ответить коллом или которую вам нужно поставить. В предыдущем примере в банке было $70, а ваш колл стоил $20, поэтому шансы к банку были равны 70-к-20 или 3,5-к-1.

Как только вы узнаете свои шансы к банку, вы сможете определить прибыльность или убыточность колла путем сравнения ваших шансов к банку с вашими реальными шансами на улучшение, а точнее с шансами против вашего улучшения. Если ваши шансы к банку будут лучше (то есть выше), чем ваши шансы против выигрыша, тогда колл будет выгоден, если ваши шансы будут хуже (то есть ниже), чем ваши шансы против улучшения, то это будет означать, что колл является неоправданным риском и вам нужно сбрасывать.

В последнем примере в колоде находилось 9 флашевых карт (это были ваши выигрышные карты) и 37 других карт (проигрышных). Шансы против вашего улучшения составляли 37-к-9, чуть выше, чем 4-к-1. Шансы к банку, которые предлагал вам соперник (3,5-к-1), были ниже, чем ваши шансы против улучшения, поэтому вы должны были сбрасывать.

Давайте рассмотрим другой пример:

У вас   а на столе

В банке сейчас $150. В вашем стеке осталось $50, и у вас есть 2 противника, у одного из которых осталось $200, а у другого $100. Игрок со стеком $200 идет ва-банк, второй игрок коллирует. Что вам делать?

Первое, что вам нужно заметить – это то, что у вас осталось $50. Поэтому данная ситуация аналогична той, в которой первый игрок поставил бы $50, а второй игрок ответил бы коллом на такую же сумму. Поэтому в банке для вас сейчас на самом деле $250 и колл стоит вам $50. Те дополнительные деньги, которые вложили в банк ваши противники, будут разыграны только между ними, и на них вы не претендуете.

Поэтому ваши шансы к банку составляют 250-к-50, или 5-к-1. Каковы ваши выигрышные шансы? Давайте попробуем определить. Поскольку на столе лежат 4 трефовые карты, бет первого игрока говорит о том, что у него в руке есть трефа, и весьма вероятно, что это высокая трефа (если бы у него не было трефы, он бы не ставил против двух противников, поскольку шанс на то, что ему ответят с более сильной рукой был бы слишком высок). Колл от второго игрока подразумевает, что у него также есть трефовая карта. У кого из них более высокая трефа? Вы не знаете этого и на самом деле это не ваша проблема. В настоящий момент вы играете против двух флешей, и все, что у вас есть, это сет тузов.

Но еще не все потеряно. Вне зависимости от того, против скольких флешей вы играете, вы по-прежнему сможете выиграть, если получите фулл-хаус или каре на ривере, и то количество карт, которые могут принести вам победу, можно подсчитать абсолютно точно. Вашим аутом является любая из трех оставшихся четверок, любая из трех оставшихся восьмерок, любой из трех оставшихся валетов и единственный оставшийся туз. Поэтому всего у вас есть 10 карт, которые принесут вам победу, и 46 карт в колоде вы не видите.

Таким образом, невидимая часть колоды содержит 10 выигрышных карт и 36 проигрышных, и поэтому ваши шансы против улучшения составляют 36-к-10 или 3,6-к-1. Таким образом, 3,6-к-1 – это намного ниже, чем 5-к-1 (ваши шансы к банку). Поэтому вы должны коллировать. Вы андердог на победу в этой раздаче, но в банке достаточно денег, чтобы вы продолжали игру.

Если вы тщательно вгляделись в эту ситуацию, то возможно вы заметили, что фактически вы находитесь в более хорошем положении, чем мы только что вычислили. Ни одна из тех карт, с помощью которых вы можете усилиться, не является трефой, потому что все трефовые карты необходимых вам номиналов уже выложены на столе. Вы полагаете, что

руки ваших противников содержат, по крайней мере, по одной трефовой карте, которые являются картами, которые не помогут вам на ривере.

Таким образом, есть только 34 бесполезных для вас карты, и по-прежнему есть 10 выигрышных карт. Ваши реальные шансы против улучшения на самом деле составляют 34-к-10 или 3,4-к-1. Если вы заметили этот факт, можете себя похвалить. Вы обладаете определенной наблюдательностью, которая может сделать из вас действительно хорошего покерного игрока.

Текущие и потенциальные шансы к банку

Теперь давайте разовьем идею шансов к банку несколько дальше. Шансы к банку в покере в действительности имеют две разновидности – это текущие шансы к банку и потенциальные шансы к банку. Текущие шансы к банку – это те шансы к банку, которые мы рассматривали в предыдущих примерах. В них вы закрывали торговлю и после вашего действия никакой будущей торговли уже не было. Вы или выиграли бы, или бы проиграли, и вы могли знать точную сумму того, что вы могли выиграть – это был текущий размер банка.

Потенциальные шансы – это несколько более сложная концепция. Предположим, ваш противник делает ставку, но его ставка не вынуждает вас идти ва-банк. Если вы ответите коллом, то в данной раздаче могут последовать и будущие ставки. И если вы достроите свою руку, вы сможете выиграть больше денег, но если вы не сможете ее достроить, вы просто не будете вкладывать еще какие-то деньги в банк. Потенциальные шансы – это шансы, предлагаемые вам банком с учетом тех денег, которые вы сможете выиграть в более позднем раунде.

В противоположность текущим шансам к банку, которые можно вычислить непосредственно (как мы это уже делали), потенциальные шансы требуют некоторых обоснованных предположений. Для их оценки вам нужно будет ответить на следующие вопросы:

• Если вы достроите свою руку, ответит ли мой противник на вашу будущую ставку?

• Насколько крупную ставку может колировать мой противник?

• Если существует высокая вероятность того, что он ответит на небольшую ставку и низкая вероятность того, что он ответит на большую ставку, насколько большую ставку я должен буду сделать?

Пример

Кэш-игра в безлимитный холдем. У вас а на столе

В вашем стеке осталось $500, а у вашего противника примерно столько же. В банке сейчас $180 и ваш противник делает ставку $100. Вы верите, что на флопе он получил пару тузов. Колл или фолд?

Из нашего предыдущего примера мы знаем, что в колодеесть 46 невидимых для нас карт, 9 из которых принесут нам флаш, а 37 из которых не принесут нам его, поэтому мы андердог 37-к-9, или примерно 4-к-1. После ставки нашего противника в банке находятся $280, и колл стоит нам $100. Текущие шансы к банку составляют 280-к-100, или 2,8-к-1. Само по себе этого недостаточно, чтобы коллировать его ставку, поскольку мы являемся 4-к-1 андердогом.

Однако, если мы ответим коллом на сумму $100, будет еще один раунд торговли. На ривере банк будет составлять $380 ($180 + его $100 + наши $100), и у каждого из нас в стеке останутся $400. Определенная часть от этих $400 может быть поставлена на ривере. Мы имеем преимущество, поскольку мы не будем вкладывать в банк какие-то

дополнительные деньги, если не достроим нашу руку. Если на ривер придет непиковая карта, мы или сыграем чек-фолд, или случится чек-чек. В любом случае, мы предполагаем, что мы проиграем этот банк, но мы не проиграем больше никаких дополнительных денег. Но если на ривер придет пика, возможны несколько сценариев.

1. Противник может снова поставить, в этом случае мы сделаем рейз и он или ответит на него, или нет.

2. Он может сказать чек, и мы можем сделать ставку на небольшую сумму, например на $100. Он будет получать шансы к банку в размере 4,8-к-1 на свой колл, что является довольно хорошими шансами к банку, поэтому он, вероятно, ответит коллом.

3. Он может сказать чек, и мы можем сделать ставку на среднюю сумму, предположим на $200. Теперь он будет получать шансы к банку в размере только 2,9-к-1, поэтому он, вероятно, уже не будет так часто коллировать. Но он может это сделать.

4. Он может сказать чек, и после этого мы можем пойти ва-банк на все наши оставшиеся $400. В этом случае противник будет получать только 2-к-1 на свой колл, поэтому он еще менее вероятно будет коллировать, но по-прежнему будет оставаться некоторый шанс на то, что он ответит коллом.

Правда заключается в том, что мы не знаем на самом деле, сколько сможем заработать с флешем. Частично это происходит из-за того, что мы не имеем какой-то другой информации о нашем противнике, кроме той, что считаем, что у него есть пара тузов или лучше. Действительно ли он лузовый и жаждущий борьбы игрок, которому не нравится кому-то уступать? Если это так, то он, вероятно, ответит на нашу ставку, даже если она будет крупной. А что если он является робким и слабым игроком? В этом случае он мог бы безоговорочно сбросить. А если он обладает умением хорошо читать чужие руки? В этом случае наш флеш потеряет значительную часть своей ценности.

Не имея какой-то другой информации о нашем противнике, по-видимому, будет разумно предположить то, что на ривере мы сможем что-то заработать. Давайте оценим наш выигрыш на ривере в случае, если мы достроим свой флеш, как что-то между $100 и $150.

Теперь давайте вернемся к нашему коллу на торне и посмотрим, как эта оценка может повлиять на наше решение. К данному моменту в банке находятся $280, а колл стоит нам $100. Мы получаем текущие шансы к банку в размере 2,8-к-1, и этого недостаточно, когда мы являемся 4-к-1 андердогом.

А теперь, с учетом предположения, что на ривере мы сможем заработать дополнительные деньги (от $100 до $150) и с учетом того, что больше уже мы ничего не проиграем, картина меняется.

1. Если на ривере мы выиграем дополнительные $100, то наши потенциальные шансы будут составлять 380-к-100 или 3,8-к-1. Этого по-прежнему недостаточно.

2. Но если мы дополнительно сможем выиграть $150, наши потенциальные шансы будут равны 430-к-100 или 4,3-к-1. Это уже выгодно.

Это похоже на граничное решение. Здесь мы не сможем совершить какую-то большую ошибку. Так что же нам делать? В таких граничных решениях я предпочитаю оставаться в игре. Я ответил бы на торне, а на ривере поставил бы $200, если бы пришла пиковая карта. Здесь я не рискую совершить крупную ошибку, и я могу получить прибыль от своей руки.

Во всех граничных решениях вы должны попытаться сыграть таким образом, который создаст видимость предоставления активности. Изображать из себя игрока, которому нравится риск и который будет ставить, рейзить и коллировать со множеством рук, более выгодно, чем изображать из себя «камня», который нуждается в натсовой или околонатсовой руке для того, чтобы вкладывать свои деньги в банк.

Подсчёт аутов

На постфлопе вы часто будете оказываться в ситуации, когда вам нужно будет улучшить свою руку для того, чтобы победить. Карта, которая улучшает вашу руку до выигрышной, называется «аут». Оценка количества аутов на флопе или на торне является важнейшим навыком. Если вы умеете вычислять ваши ауты, вы знаете, насколько крупный вы андердог в данный момент и какие шансы к банку вам нужны для корректного ответа на чужую ставку.

Вычисление аутов предполагает некоторые математические действия и некоторые догадки. Карта, которая может оказаться аутом, на самом деле может им не быть. Если вы прикупаете к стрейту, в то время, как ваш противник прикупает к флешу, то некоторые из карт, которые дадут вам стрейт, одновременно дадут вашему противнику флеш. С другой стороны, если ваш противник делает сильные ставки, но на самом деле блефует, вы можете не нуждаться в аутах вообще.

Рассмотрим вычисление аутов на простом примере. На префлопе вы получаете

в средней позиции. Вы делаете рейз и противник из поздней позиции отвечает коллом. На флоп приходят

Вы играете чек, и ваш противник ставит. Прямо сейчас у вас нет ничего. Сколько аутов могут принести вам выигрышную руку?

Для начала заметьте, что ваш противник может иметь множество разнообразных рук. Вашим чеком на флопе вы продемонстрировали слабость. Поэтому его ставка могла быть совершена просто с намерением украсть у вас банк без ничего. Но его бет также может означать, что на флопе он получил реально сильную руку. Давайте сначала перечислим те руки, которые могут у него быть, а затем разберемся с тем, в скольких аутах вы нуждаетесь против каждой из его вероятных рук.

У него крупная рука

Он мог получить две пары или сет. Это не самый вероятный из результатов, но мы должны его рассмотреть. В этом случае для победы вам нужен стрейт или флеш. Сейчас у вас есть двойной дырявый стрейт, таким образом, чтобы получить стрейт, вы

нуждаетесь в короле или девятке. В колоде осталось 4 короля и 4 девятки, поэтому общее количество ваших аутов равно восьми. У вас также есть 3-флеш. Чтобы получить флеш, вам нужно, чтобы на торне или на ривере пришли две пиковые карты. Вероятность получить пику на торне равна 10/47. Вероятность получить пику на ривере равна 9/46.

Быстрый способ превратить эти значения в ауты заключается в следующем: у вас есть 10 аутов для торна, но если на торне вы получите один из них, на ривере вам удастся усилиться до флеша только примерно в одном случае из пяти. Поэтому можно считать, что у вас есть два аута на флеш. В общей сложности это дает нам 8 аутов на стрейт и 2 аута на флеш – это примерно 10 аутов.

Но эти расчеты не совсем точны, потому что даже если мы усилимся до стрейта или флеша, противник может все равно перетянуть нас. Если сейчас у него сет, то любая парная карта на торне или ривере принесет ему фулл-хаус или лучше. Если у противника сет, то вероятность такого исхода равна примерно 30%. Если у него две пары, то вероятность такого исхода равна примерно 20%. Принимая это во внимание, мы должны уменьшить количество своих аутов от 10 до примерно 7,5 или 8.

У него пара тузов

Это могло случиться, если он ответил на наш префлоп-рейз с рукой Ax, и теперь получил пару на флопе. Мы по-прежнему нуждаемся в улучшении, и расчеты примерно такие же, как и в предыдущем случае, за исключением того, что теперь ему будет намного сложнее перетянуть нас, если мы соберем стрейт или флаш. Поэтому в этом случае можно считать, что у нас есть 10 полных аутов.

У него пара валетов

Он мог начинать с рукой типа KJ или JT, а затем получить среднюю пару на флопе и решить, что наш чек говорит об отсутствии у нас туза. В дополнении к 10 аутам, которые были у нас раньше, теперь мы получаем еще 3 дополнительных аута (три дамы), и наше общее количество аутов увеличивается до 13.

У него меньшая пара

У него может быть что-то наподобие 99 или 77, и сейчас он решил, что может забрать у нас этот банк. В этом случае количество наших аутов увеличивается до 16, поскольку теперь к ним можно прибавить и 3 десятки.

Однако заметьте, что теперь ситуация стала для нас более запутанной. В последнем случае десятки технически можно было посчитать за ауты, поскольку десятки могли дать нам выигрышную руку, но если вы получите десятку, вы не будете иметь представления о том, лучшая у вас рука, или нет. То же самое верно и для дам из нашего предпоследнего предположения. Ауты на стрейт – это однозначные ауты, но все остальные ауты несколько неясны.

Этот последний пример намного более реален, чем те простые примеры, которые мы приводили ранее. В предыдущих примерах мы точно знали, что у нас был прикупной флеш и у нас есть 9 аутов, или что у нас есть двухсторонний 4-стрейт, и количество наших аутов равно 8. В реальной игре вам нужно будет производить некоторые размышления относительно того, что может означать бет или чек вашего противника, и вычислять количество аутов в соответствии с этим. В этом последнем примере я бы свел общее среднее количество своих аутов до 10. Затем я стал бы уже решать, разыгрывать эту руку или нет.

Чтобы немного помочь вам, мы приводим таблицу аутов для наиболее часто возникающих ситуаций:

Количество аутов	Прикупная рука
4	Две пары (до фулл-хауса); дырявый стрейт
6	Оверкарты (до одной пары)
8	Двухстороннее стрейт-дро
9	Флеш-дро
11	Флеш-дро + пара (до флаша или трипса)
12	Флеш-дро + дырявый стрейт
15	Флеш-дро + двухстороннее стрейт-дро

Запомните, 14 аутов дают вам равные шансы против готовой руки.

Правило Четырёх и Правило Двух

Если вы знаете количество ваших аутов и хотите сделать примерную оценку ваших процентных шансов на победу в данной раздаче, используйте Правило Четырех и Правило Двух.

Правило Четырёх: если остаётся придти двум картам и вы готовы их обе посмотреть, умножьте количество ваших аутов на 4, чтобы получить ваши шансы на выигрыш.

Например, если у вас есть 6 аутов на флопе, ваши шансы на выигрыш составляют 24%.

Правило Двух: если остаётся придти только одной карте, умножьте количество ваших аутов на 2, чтобы получить ваши шансы на выигрыш.

Например, если у вас есть 9 аутов и осталось выпасть только карте ривера, ваши шансы на выигрыш равны примерно 18%.

Когда остается прийти двум общим картам, вы можете вычислить даже более точное процентное значение ваших шансов на победу с помощью Правила Соломона:

Правило Соломона: если остаётся придти двум картам, умножьте количество ваших аутов на 4, а затем отнимите от этой величины разницу между числом ваших аутов и числом 8, чтобы получить ваши шансы на выигрыш.

Например, если у вас 14 аутов, ваши шансы на победу составляют примерно 50%:

( 14 ? 4 - 14 - 8) = 50

По материалам книги Дена Харингтoна "Kеш по Харрингтону"